每周算法:跳跃游戏

leetcode第55题,难度为medium。本题可以用的思路比较多,可行的方法有:回溯算法、动态规划、贪心算法。

1 Description

Given an array of non-negative integers, you are initially positioned at the first index of the array.

Each element in the array represents your maximum jump length at that position.

Determine if you are able to reach the last index.

Example 1:

Input: [2,3,1,1,4]
Output: true

Explanation: Jump 1 step from index 0 to 1, then 3 steps to the last index.

Example 2:

Input: [3,2,1,0,4]
Output: false

Explanation: You will always arrive at index 3 no matter what. Its maximum jump length is 0, which makes it impossible to reach the last index.

来源:leetcode 55 jump game

2 Solution

题外话:这道题的solution解析是我在leetcode上看到的最好的解析,真的非常非常细致,原文链接为参考资料第二个,十分推荐去看看。

2.1 Approach 1 backtracking

这是我见到这道题的第一思路,通过回溯和穷举可以得到最终的结果。

bool jump(const vector<int>& nums, size_t pos) {
    if (pos >= nums.size()-1) {
	return true;
    }

    int step = nums[pos];
    bool ret = false;
    for (int i=step; i>0; --i) {
	ret |= jump(nums, pos+i);
	if (ret) {
	    break;
	}
    }

    return ret;
}

bool canJump(vector<int>& nums) {
    return jump(nums, 0);
}

该算法的时间复杂度为 O(2^n) ,详细的推导过程见参考资料2;空间复杂复杂度为 O(n) ,由于使用了递归,需要额外的空间存储堆栈数据。

遗憾的是,这个方法在leetcode中被判定超时了。

2.2 Approach 2 dynamic programming

进行动态规划算法有两种方案,自底向顶推导和自顶向下推导。我使用的是自底向下推导。

bool canJump(vector<int>& nums) {
    if (nums.size() < 2) {
	return true;
    }

    vector<bool> dpJump(nums.size(), false);
    size_t size = dpJump.size();
    dpJump[size - 1] = true;

    for (int i=size-2; i>=0; --i) {
	int step = nums[i];
	if ((size_t)step + i >= size-1) {
	    dpJump[i] = true;
	}
	else {
	    bool jmp = false;
	    for (int j=step+i; j>0; --j) {
		jmp |= dpJump[j];
		if (jmp) {
		    break;
		}
	    }
	    dpJump[i] = jmp;
	}
    }

    return dpJump[0];
}

该算法的时间复杂度为 O(2^n) ;空间复杂复杂度为 O(n) ,使用额外的空间存储动态规划的辅助数据。

2.3 Approach 3 greedy

第三种方法采用贪心算法的思想,需要找到题目答案的规律,我是在看到leetcode解答之后才想出该算法的。

bool canJump(vector<int>& nums) {
    int lastPos = nums.size() - 1;

    for (int i = nums.size()-1; i >= 0; --i) {
	if (i + nums[i] >= lastPos) {
	    lastPos = i;
	}
    }
    return lastPos == 0;
}

该算法的时间复杂度为 O(n) ;空间复杂复杂度为 O(1)

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