常见排序算法总结

排序是计算机编程中很常见的操作,本文对常见的排序算法进行了总结,并针对每种算法给出了示例代码。

冒泡排序

从头开始依次对相邻的两个数字比较大小并进行交换,对于 n 个数字,最多只需要进行 n-1 次交换。
代码示例:

void bubble_sort(vector<int>& nums) {
    if (nums.size() < 2) {
	return;
    }

    for (size_t i=0; i<nums.size()-1; ++i) {
	for (size_t j=0; j+1<nums.size()-i; ++j) {
	    if (nums[j] > nums[j+1]) {
		swap(nums[j], nums[j+1]);
	    }
	}
    }
}

插入排序

从第二个元素开始,将该元素插入到已排序数字列的和合适位置。
代码示例:

void insertion_sort(vector<int>& nums) {
    if (nums.size() < 2) {
	return;
    }

    for (size_t i=1; i < nums.size(); ++i) {
	int target = nums[i];
	int j = i - 1; // !!!
	for (; j >= 0; --j) { // !!!
	    if (target < nums[j]) {
		nums[j+1] = nums[j];
	    }
	    else {
		break;
	    }
	}
	nums[j+1] = target;
    }
}

选择排序

以从小到大排序为例,选择排序每次从剩下未排序的数字列中选出最小的数字,将其放在已排序数字列的尾部。
代码示例:

void selection_sort(vector<int>& nums) {
    if (nums.size() < 2) {
	return;
    }

    for (size_t i=0; i < nums.size()-1; ++i) {
	int pos = i;
	for (size_t j=i+1; j<nums.size(); ++j) {
	    if (nums[pos] > nums[j]) {
		pos = j;
	    }
	}
	swap(nums[i], nums[pos]);
    }
}

归并排序

将数字列分不断划分为多个较小的数字列,对较小的数字列按照顺序进行归并,最终实现归并后的数字列是有序的。
归并排序体现了分治法的思想。归并排序的实现有两种:递归方式和非递归方式。

“非递归方式”代码示例:

void merge_sort(vector<int>& nums) {
    // merge
    vector<int> temp;
    temp.resize(nums.size());

    unsigned step = 1; // step 可以从1开始
    while (step < nums.size()) {
	for (size_t i=0; i < nums.size(); ) {
	    size_t head1 = i;
	    size_t end1 = min(head1 + step, nums.size());
	    size_t head2 = end1;
	    size_t end2 = min(head2 + step, nums.size());

	    while (head1 < end1 && head2 < end2) {
		if (nums[head1] < nums[head2]) {
		    temp[i] = nums[head1];
		    ++head1;
		}
		else {
		    temp[i] = nums[head2];
		    ++head2;
		}
		++i;
	    }

	    while (head1 < end1) {
		temp[i] = nums[head1];
		++head1;
		++i;
	    }

	    while (head2 < end2) {
		temp[i] = nums[head2];
		++head2;
		++i;
	    }
	}
	nums = temp; // optimal
	step *= 2;
    }
}

“递归方式”代码示例:

// recursive merge sort
void merge_sort(vector<int>& nums) {
    if (nums.size() < 2) {
	return;
    }
    else if (nums.size() == 2) {
	if (nums[0] > nums[1]) {
	    swap(nums[0], nums[1]);
	}
	return;
    }

    // split
    size_t mid = nums.size() / 2;

    // !!! 使用迭代器完成数组拷贝,注意对mid的处理
    vector<int> numLeft(nums.begin(), nums.begin()+mid);
    merge_sort(numLeft);

    vector<int> numRight(nums.begin()+mid, nums.end());
    merge_sort(numRight);

    size_t i = 0;
    size_t l = 0;
    size_t r = 0;
    while (l < numLeft.size() && r < numRight.size()) {
	if (numLeft[l] < numRight[r]) {
	    nums[i] = numLeft[l];
	    ++l;
	}
	else {
	    nums[i] = numRight[r];
	    ++r;
	}
	++i;
    }

    while (l < numLeft.size()) {
	nums[i] = numLeft[l];
	++l;
	++i;
    }

    while (r < numRight.size()) {
	nums[i] = numRight[r];
	++r;
	++i;
    }
}

快速排序

快速排序与归并排序比较相似,它们都会对所排序的数字列进行分割,对分割后的子数字列进行排序,对排序后的子数字列进行归并。二者的区别在于分割子数字列的方式,快速排序会根据选取的轴点对数字列进行划分,归并排序总会对数字列进行等分。

代码示例:

// qsort的partition是关键
int partition(std::vector<int>& nums, int low, int high) {
    int i = low;
    for (int j=low; j<high; ++j) {
	if (nums[j] < nums[high]) {
	    std::swap(nums[i], nums[j]);
	    ++i;
	}
    }
    std::swap(nums[i], nums[high]);
    return i;
}

void helper(std::vector<int>& nums, int low, int high) {
    if (low < high) {
	int piv = partition(nums, low, high);
	helper(nums, low, piv-1);
	helper(nums, piv+1, high);
    }
}

void quick_sort(std::vector<int>& nums) {
    helper(nums, 0, nums.size()-1);
}

排序算法的性能指标

时间复杂度

算法的时间复杂度就是算法的运行速度,是算法性能的重要指标。

名称 最好 平均 最坏
冒泡排序 n n2 n2
插入排序 n n2 n2
选择排序 n2 n2 n2
归并排序 nlogn nlogn nlogn
快速排序 nlogn nlogn n2

空间复杂度

算法的空间复杂度表示算法运行时需要的内存空间。

名称 空间
冒泡排序 1
插入排序 1
选择排序 1
归并排序 n
快速排序 logn

稳定性

算法的稳定性主要指相同的元素在排序后,它们的相对位置能够保持不变。
稳定的排序算法:冒泡排序,插入排序,归并排序
不稳定的排序算法:选择排序,快速排序

相似排序算法的比较

插入排序和选择排序

插入排序是稳定的算法,而选择排序是不稳定的算法。
在最理想情况下,插入排序的时间复杂度为 O(n) ,选择排序的时间复杂度为 O(n^2)

归并排序和快速排序

归并排序是稳定的算法,而一般的快速排序是不稳定的算法,也存在以稳定的快速排序算法。
在最坏情况下,归并排序的时间复杂度为 O(nlogn) ,快速排序的时间复杂度为 O(n^2)
归并排序需要额外的空间用于存储辅助数据,快速排序并不需要很多额外的空间。

Comments

Comments powered by Disqus